㈠ 高人一篇文章讀懂傅里葉變換
這篇文章的核心思想就是：
要讓讀者在不看任何數學公式的情況下理解傅里葉分析。
傅里葉分析不僅僅是一個數學工具，更是一種可以徹底顛覆一個人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復雜了，所以很多大一新生上來就懵圈並從此對它深惡痛絕。老實說，這么有意思的東西居然成了大學里的殺手課程，不得不歸咎於編教材的人實在是太嚴肅了。（您把教材寫得好玩一點會死嗎？會死嗎？）所以我一直想寫一個有意思的文章來解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，並且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個樣子時的快感。至於對於已經有一定基礎的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往後翻，仔細讀一定會有新的發現。
————以上是定場詩————
下面進入正題：
抱歉，還是要啰嗦一句：其實學習本來就不是易事，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學習起來更加輕松，充滿樂趣。但是千萬！千萬不要把這篇文章收藏起來，或是存下地址，心裡想著：以後有時間再看。這樣的例子太多了，也許幾年後你都沒有再打開這個頁面。無論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開心得多……
一、嘛叫頻域
從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發生改變。這種以時間作為參照來觀察動態世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，並且永遠不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發現世界是永恆不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。
先舉一個公式上並非很恰當，但意義上再貼切不過的例子：
在你的理解中，一段音樂是什麼呢？
這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信對於樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：
好的！下課，同學們再見。
是的，其實這一段寫到這里已經可以結束了。上圖是音樂在時域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生，只是從來沒意識到而已。
現在我們可以回過頭來重新看看一開始那句痴人說夢般的話：世界是永恆的。
將以上兩圖簡化：
時域：
在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個永恆的音符。
你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。（難以理解）
傅里葉同學告訴我們，任何周期函數，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個例子里我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度，不同時間點的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。
而貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡單的開始談起。
二、傅里葉級數(Fourier Series)
還是舉個栗子並且有圖有真相才好理解。
如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶90度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當年的我一樣。但是看看下圖：
第一幅圖是一個郁悶的正弦波cos（x）
第二幅圖是2個賣萌的正弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)
第三幅圖是4個發春的正弦波的疊加
第四幅圖是10個便秘的正弦波的疊加
隨著正弦波數量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標準的矩形，大家從中體會到了什麼道理？
（只要努力，彎的都能掰直！）
隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續上升的部分使其變為水平線。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標准90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。
不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點，但是一旦接受了這樣的設定，游戲就開始有意思起來了。
還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個角度來看看：
在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而後面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向後排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細心的讀者發現了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那並不是分割線，而是振幅為0的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。
這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。
好了，關鍵的地方來了！！
如果我們把第一個頻率最低的頻率分量看作「1」，我們就有了構建頻域的最基本單元。
對於我們最常見的有理數軸，數字「1」就是有理數軸的基本單元。
（好吧，數學稱法為 ——基。在那個年代，這個字還沒有其他奇怪的解釋，後面還有正交基這樣的詞彙我會說嗎?）
時域的基本單元就是「1秒」，如果我們將一個角頻率為ω的正弦波cos（ωt）看作基礎，那麼頻域的基本單元就是ω。
有了「1」，還要有「0」才能構成世界，那麼頻域的「0」是什麼呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數的疊加中，它僅僅影響全部波形相對於數軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。
接下來，讓我們回到初中，回憶一下老師是怎麼定義正弦波的吧。
正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉的圓
介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域里的另一個模樣了：
這是什麼奇怪的東西？
這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來了？教科書一般就給到這里然後留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書只要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是
再清楚一點：
可以發現，在頻譜中，偶數項的振幅都是0，也就對應了圖中的彩色直線。振幅為0的正弦波。
老實說，在我學傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現，那時我就想到了這種表達方法，而且，後面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。
但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什麼。記得前面說過的那句「世界是靜止的」嗎？估計好多人對這句話都已經吐槽半天了。想像一下，世界上每一個看似混亂的表象，實際都是一條時間軸上不規則的曲線，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規律的事情反而是規律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉的圓在直線上的投影。那麼你的腦海中會產生一個什麼畫面呢？
我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的後面有無數的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規律的在幕布前表演，卻無法預測他下一步會去哪。而幕布後面的齒輪卻永遠一直那樣不停的旋轉，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當時想想似懂非懂，直到有一天我學到了傅里葉級數……